【MCM/论文学习/2025B】条件价值评估和模糊评价 (2501687)

1. 1. 建模
   1. 1.1. 条件价值评估法 (CVM)
   2. 1.2. Logistic 模型
   3. 1.3. 模糊统计法
      1. 1.3.1. 适用情形
      2. 1.3.2. 操作方法（复杂）
      3. 1.3.3. 操作方法（简化）

这是MCM 2025 Problem B O奖论文2501687的学习笔记，其他MCM笔记：

建模

条件价值评估法 (CVM)

CVM用于评估那些没有市场价格的公共物品（如清洁的空气、优美的风景、物种多样性、社会安定）的经济价值。即将指标转化为钱。

• 寻找一个合适的价格来量化这些没有价格物品的价值，目标是得到 1 Index = n dollars 这个等式
  • 例如本文中环境污染用碳排放处理价格来量化
• CVM是将多目标问题转化为单目标问题是一个技巧
• 可以看作更有理有据的加权，只不过最终的公式单位是money而不是一个无量纲的数

Logistic 模型

反映了经济学中的边际收益递减规律——即在初期投入效果显著，但当投入达到一定规模后，再增加投入所带来的边际效益会逐渐减少，直到达到上限

$$\Gamma(I) = \frac{\Gamma_{max}}{1 + \left( \frac{\Gamma_{max}}{\Gamma_{0}} - 1 \right) e^{-\alpha \cdot I}}$$

• $I$ (Input)：自变量
• $\Gamma(I)$ (Output)：因变量
• $\Gamma_{max}$ (Capacity)：环境容纳量/上限
• $\Gamma_{0}$ (Initial Value)：初始值
• $\alpha$ (Rate)：增长速率/敏感度

模糊统计法

模糊统计法就是构造一个函数，把一个具体的数值（如身高、游客人数），映射成一个 0 到 1 之间的分数，用来代表某种状态（如拥挤程度、满意程度）的强烈程度

适用情形

1. 评估“舒适度”、“美观度”、“安全感”、“拥挤感”、“社会稳定性”
2. 边界不清的情形：例如多高算“高”，多少人算“拥挤”

操作方法（复杂）

例如我们现在要评价社会满意度，它有五个评价等级

$$V = \{v_1, v_2, v_3, v_4, v_5\}$$

• $v_1$: 无法忍受 (Intolerable) $\rightarrow$对应分数 1.0
• $v_2$: 非常严重 (Severe) $\rightarrow$ 对应分数 0.8
• $v_3$: 明显 (Distinct) $\rightarrow$ 对应分数 0.5
• $v_4$: 轻微 (Slight) $\rightarrow$ 对应分数 0.2
• $v_5$: 无感 (None) $\rightarrow$ 对应分数 0.0

根据上述对应分数可以得到向量 $Score = [1.0,0.8,0.5,0.2,0.0]$

1. 首先确定导致上述评价的「因素」

$$U = \{u_1, u_2, u_3, u_4\}$$

• $u_1$: 交通拥堵 (Traffic Congestion)
• $u_2$: 噪音干扰 (Noise Disturbance)
• $u_3$: 物价上涨 (Price Inflation)
• $u_4$: 治安/安全感 (Security)

2. 确定隶属度

对于每个因素，其在自变量（文中为游客数量N）变化的情况了，隶属于某个评价的概率是会变化的

例如交通拥堵隶属于“明显”的函数可能为：

$$\mu(N) = \begin{cases} 0, & N \le a \\ \frac{N - a}{M - a}, & a < N \le M \\ \frac{b - N}{b - M}, & M < N < b \\ 0, & N \ge b \end{cases}$$

隶属于“无法忍受”的函数可能为：

$$\mu(N) = \begin{cases} 0, & N \le a \\ \frac{N - a}{b - a}, & a < N < b \\ 1, & N \ge b \end{cases}$$

对于每个N，带入每个隶属度函数，即可得到此时 “交通拥堵” 隶属于各个评价的概率向量，例如：

$$[0.2, 0.4, 1.0, 0.4, 0]$$

归一化后为：

$$r_1 = [0.1, 0.2, 0.5, 0.2, 0]$$

对于每个因素，在N确定是都可以得到这样一个向量，将他们拼起来（一行一个向量），即可得到隶属度矩阵R

$$R = \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & \cdots & r_{1m} \\ r_{21} & r_{22} & \cdots & r_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ r_{n1} & r_{n2} & \cdots & r_{nm} \end{bmatrix}$$

3. 去模糊化，得到评价指标

把概率分布变成一个分数值，最常用的是加权平均法：

$$S_2= \frac{\sum_{j=1}^{5} b_j \times \text{Score}(v_j)}{\sum b_j}$$

代入分值$Score = [1.0,0.8,0.5,0.2,0.0]$

操作方法（简化）

直接将计算r归一化的步骤简化为一个S型函数，例如sigmaod函数

$$f_{congestion}(N) = \frac{1}{1 + e^{-k(N - N_0)}}$$

然后再对每个因素得到的值按权重相加（相当于加权求和那一步）

$$Negative(N) = w_1 \cdot f_{\text{拥堵}}(N) + w_2 \cdot f_{\text{噪音}}(N) + w_3 \cdot f_{\text{治安}}(N) + \cdots$$

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