【MCM/论文学习/2025B】熵权法，Logistic 和 动态规划 (2504448)

1. 1. 论文写作
2. 2. 建模
   1. 2.1. 熵权法思路
   2. 2.2. 逻辑斯谛修正 (Logistic Correction)
   3. 2.3. 基于理想点的归一化惩罚项
      1. 2.3.1. 进阶：使用正态分布函数，消除不可导点
   4. 2.4. 动态规划（Dynamic Programming, DP）
      1. 2.4.1. 1. 定义状态变量(State Variables)
      2. 2.4.2. 2. 定义决策变量
      3. 2.4.3. 3. 定义状态转移方程
      4. 2.4.4. 4. 定义阶段指标/回报函数
      5. 2.4.5. 5. 写出贝尔曼方程
      6. 2.4.6. 求解方法：逆向归纳法
   5. 2.5. 灵敏度分析
   6. 2.6. 这篇论文可以改进的点

这是MCM 2025 Problem B O奖论文2504448的学习笔记，其他MCM笔记：

论文写作

在Introduction的Our work部分放上我们的整个建模、求解、分析过程

加入图片说明文字（类似PPT）

建模

熵权法思路

1. 对于每一个指标，对其评价对象的值进行归一化，然后计算该指标的熵值
2. 用所有指标的熵值计算熵权

---

假设：

• 有 (m) 个评价对象
• 有 (n) 个指标

原始数据矩阵为：

$$X = \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1n} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{m1} & x_{m2} & \cdots & x_{mn} \end{bmatrix}$$

1. 指标正向化

如果所有指标都是“越大越好”

• 极大指标（越大越好）：不变

• 极小指标（越小越好）：

  $x'_{ij} = \max(x_j) - x_{ij}$

2. 指标内部数据归一化

$$p_{ij} = \frac{x'{ij}}{\sum{i=1}^{m} x'_{ij}}$$

• 若 $x'_{ij} = 0$*，*则规定 $p_{ij}\ln p_{ij} = 0$

3. 计算指标熵值

$$e_j = -k \sum_{i=1}^{m} p_{ij} \ln p_{ij}$$

其中：$k = \frac{1}{\ln m}$

4. 计算熵权

$$d_j = 1 - e_j$$

$$w_j = \frac{d_j}{\sum_{j=1}^{n} d_j}$$

得到每个指标的权重 $w_j$

逻辑斯谛修正 (Logistic Correction)

适用于描述 “饱和增长/恢复模型”

例如本文中描述自然恢复的公式中的$r\cdot(1-E_{sub}(t))$就是Logistic Correction

$$E(t+1)=E_{sub}(t)+r\cdot(1-E_{sub}(t))-h\cdot(\frac{T(t)}{T_{max}})$$

它描述的是：环境恢复速度随着环境变好而下滑

• Logistic Correction的通式是：

$$\text{本期增量} = \text{基础速率} \times \underbrace{(1 - \frac{X}{K})}_{\text{剩余空间/缺口}}$$

$X$ 是研究的变量（比如环境质量、人口、市场占有率），$K$ 是该量的最大值

• 本文中该公式也可以写成该形式

$$r\cdot(1-E_{sub}(t)) = r\cdot (1 - \frac{E_{sub}(t)}{1})$$

基于理想点的归一化惩罚项

其思想是 “中庸之道”，适用于中间值是最好的情况

$$Score = 1 - \frac{|T_{actual} - T_{optimal}|}{T_{optimal}}$$

适用场景：

• 体温、库存管理、城市规划（建筑密度…）、生态学（土壤pH、生物量…）

进阶：使用正态分布函数，消除不可导点

$$Q(t) = e^{-\frac{(T(t) - T_{opt})^2}{2\sigma^2}}$$

动态规划（Dynamic Programming, DP）

解决多阶段决策过程的工具，将长期的决策问题拆解为每个 t 下的决策问题

首先定义四要素：

1. 定义状态变量(State Variables)

随时间变化，且会被决策影响的指标，往往是目标函数中的变量

• 例如本文中选取了：$T(t)$ 当前的游客数量，$E(t)$ 当前的环境质量指数，$Q(t)$ 当前的居民满意度

2. 定义决策变量

决策者可以修改的参数

• 本文中为税率 $\tau(t)$ 和拨款 $M(t)$

3. 定义状态转移方程

利用回归分析、微分方程或逻辑斯谛增长模型等方式构建 $T(t+1)$ 与 $T(t)$ 之间的等式关系

4. 定义阶段指标/回报函数

描述当前 t 下做得好不好

一般是利润、成本、效用等

• 文中为 $Reward(t) = P(t) + \omega_4 E(t) + \omega_5 Q(t)$

然后写出贝尔曼方程：

5. 写出贝尔曼方程

$$V(\text{t}) = \max_{\text{决策变量}} \{ Reward(t) + \gamma \cdot V(\text{t+1}) \}$$

• 该论文中为：

$$V(t) = \max_{\tau(t), M(t)} \{ \underbrace{P(t) + \omega_4 E(t) + \omega_5 Q(t)}_{\text{当前回报}} + \underbrace{\gamma V(t+1)}_{\text{未来折现价值}} \}$$

$V(t)$：价值函数，表示从第 $t$ 年开始一直到最后一年，能获得的最大总收益

$\gamma$ : 折现因子，将未来的价值函数折现到当前

求解方法：逆向归纳法

1. 设定 Final

假设第5年是最后一年，没有下一年了（$V(6)=0$），则

$$V(5) = \max_{\tau(t), M(t)} \{ Reawrd(t)\}$$

• 例如文中为 $V(5) = \max_{\tau(t), M(t)} \{ P(t) + \omega_4 E(t) + \omega_5 Q(t)\}$
• 由于文中模型的公式均为线性函数/凹函数，并且在定义域内连续，一定有全局最优解

如何求解？

（1） 首先，V(5)受到 t = 4 的状态变量的影响，例如文中的 T(4) 和 E(4)

因此，$V(5)$ 实际上是一个以 T(4) 和 E(4) 为变量的表 / 函数

其一， 可以采用网格法，输入大量的 T(4) 和 E(4)，对每个 (T(4) , E(4))，采取以下方法求得 $V(5)$

（离散）

• 对于处处可导的凹/凸函数，可以用梯度法（梯度下降）、牛顿法，
• 对于存在不可导点的凹/凸函数情形
  • 定义域较小的可以用离散化求解（网格搜索）
  • 否则采用次梯度法、近端梯度法
• 对于非凸函数的情形
  • 若函数光滑可导：
    • 多起点梯度下降：找到多个局部最优再选出全局最优
  • 若函数包含整型变量
    • 使用MIP求解器求解：分支定界法（B&B）：将定义域不断二分，分别求每一块中函数的上下界、
  • 若函数是个黑箱
    • 可以采用启发式算法（GA，DE，PSO…）
  • 有的函数有特殊的数学结构可以变换为凸函数…

其二， 可以采用 近似动态规划

即在第 5 年随机输入几千个 (T(4) , E(4))，对每个 (T(4) , E(4))同样用上文所述方法求得最优解，然后用回归模型拟合这个函数，得到

$$\hat{V}_5(T, E)$$

这是一个连续函数，适合T、E连续的情形

• 常用的回归模型包括：线性回归、随机森林 / XGBoost、神经网络

• 注意线性回归指关于各项权重是线性的，变量可以为任意幂次，不一定是线性的，即

  $$y = w_0 \cdot \phi_0(x) + w_1 \cdot \phi_1(x) + w_2 \cdot \phi_2(x) + \dots$$

  线性回归可以用sklearn做到，e.g.

  # degree=2 会将 [T, E] 扩展为 [1, T, E, T^2, E^2, T*E]
  poly = PolynomialFeatures(degree=2, include_bias=True)
  X_poly = poly.fit_transform(X_raw)
  
  model_v5 = LinearRegression()
  model_v5.fit(X_poly, y_targets)

2. 倒推

得到 $V(5)$ 后，即可优化得到 $V(4)$

$$V(4) = \max_{\tau(t), M(t)} \{ Reawrd(t) + \gamma V(5)\}$$

• 例如文中为 $V(4) = \max_{\tau(t), M(t)} \{ P(t) + \omega_4 E(t) + \omega_5 Q(t) + \gamma V(5)\}$
• 以此类推可以求得前面各年的值

灵敏度分析

对于一个动态规划模型，可以尝试改变状态变量，看参数的变化

可以展示模型的 Smart 程度

一般的灵敏度分析（改变参数）展示的只是 Robust

这篇论文可以改进的点

论文中的决策变量只写了两个 $\tau(t), M(t)$

但实际求解（根据3.5.7）可知 $M(t)$ 实际上是有4个分量的，分别表示政府的基础设施投入、广告投入、补贴投入、环保投入

更好的写法是将其在模型建立时清晰地写出来，如下所示：

设 $\alpha_i(t)$ 为第 $t$ 年各类政府支出的分配比例，满足归一化约束：

$$\mathbf{\alpha}(t) = [\alpha_{env}(t), \alpha_{infra}(t), \alpha_{sub}(t), \alpha_{ads}(t)]$$

$$\text{s.t.} \quad \sum \alpha_i(t) = 1, \quad \alpha_i(t) \ge 0$$

各类具体的支出金额为：$M_i(t) = \alpha_i(t) \cdot M(t)$

1. 广告投入 ($M_{ads}$)

   原公式只写了 $\eta \cdot M(t)$，现在更精确为：

   $$g(t) = g_{base} - \beta C_{cap}(t) + \eta \cdot \underbrace{(\alpha_{ads}(t) \cdot M(t))}_{\text{仅广告费起作用}}$$

2. 环保投入 ($M_{env}$)

   原公式写的是 $\kappa \cdot M(t)$，现在更精确为：

   $$E_{sub}(t) = E(t) + \kappa \cdot \underbrace{(\alpha_{env}(t) \cdot M(t))}_{\text{仅环保费起作用}}$$

3. 基建投入 ($M_{infra}$)

   基建投入应该提升城市的承载力。我们可以把 $T_{opt}$ 改写为动态变量：

   $$T_{opt}(t) = T_{opt}^{base} + \mu \cdot \sum_{k=1}^{t} \underbrace{(\alpha_{infra}(k) \cdot M(k))}_{\text{累计基建投入}}$$

4. 补贴投入 ($M_{sub}$)

   收了税，但我返还了一部分 $M_{sub}$ 给居民，居民满意度提高

   $$Q(t) = \dots - \omega_3 \cdot \underbrace{\max\left(0, \ \tau(t) \cdot R(t) - \theta \cdot (\alpha_{sub}(t) \cdot M(t)) \right)}_{\text{净税收负担}}$$

---

• Cover